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data.pi

Instances and theorems on pi types #

This file provides basic definitions and notation instances for Pi types.

Instances of more sophisticated classes are defined in pi.lean files elsewhere.

1, 0, +, *, -, ⁻¹, and / are defined pointwise.

source
@[protected, instance]
def pi.has_zero {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_zero (f i)] :
has_zero (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[protected, instance]
def pi.has_one {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_one (f i)] :
has_one (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[simp]
theorem pi.zero_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (i : I) [Π (i : I), has_zero (f i)] :
0 i = 0
source
@[simp]
theorem pi.one_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (i : I) [Π (i : I), has_one (f i)] :
1 i = 1
source
theorem pi.one_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_one (f i)] :
1 = λ (i : I), 1
source
theorem pi.zero_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_zero (f i)] :
0 = λ (i : I), 0
source
@[simp]
theorem pi.const_one {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_one β] :
function.const α 1 = 1
source
@[simp]
theorem pi.const_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_zero β] :
function.const α 0 = 0
source
@[simp]
theorem pi.zero_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_zero γ] (x : α → β) :
0 ∘ x = 0
source
@[simp]
theorem pi.one_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_one γ] (x : α → β) :
1 ∘ x = 1
source
@[simp]
theorem pi.comp_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_zero β] (x : β → γ) :
x ∘ 0 = function.const α (x 0)
source
@[simp]
theorem pi.comp_one {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_one β] (x : β → γ) :
x ∘ 1 = function.const α (x 1)
source
@[protected, instance]
def pi.has_mul {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_mul (f i)] :
has_mul (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[protected, instance]
def pi.has_add {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_add (f i)] :
has_add (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[simp]
theorem pi.add_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_add (f i)] :
(x + y) i = x i + y i
source
@[simp]
theorem pi.mul_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_mul (f i)] :
(x * y) i = (x i) * y i
source
theorem pi.mul_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_mul (f i)] :
x * y = λ (i : I), (x i) * y i
source
theorem pi.add_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_add (f i)] :
x + y = λ (i : I), x i + y i
source
@[simp]
theorem pi.const_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_add β] (a b : β) :
function.const α a + function.const α b = function.const α (a + b)
source
@[simp]
theorem pi.const_mul {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_mul β] (a b : β) :
(function.const α a) * function.const α b = function.const α (a * b)
source
theorem pi.mul_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_mul γ] (x y : β → γ) (z : α → β) :
(x * y) ∘ z = (x ∘ z) * y ∘ z
source
theorem pi.add_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_add γ] (x y : β → γ) (z : α → β) :
(x + y) ∘ z = x ∘ z + y ∘ z
source
@[simp]
theorem pi.bit0_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_add (f i)] :
bit0 x i = bit0 (x i)
source
@[simp]
theorem pi.bit1_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_add (f i)] [Π (i : I), has_one (f i)] :
bit1 x i = bit1 (x i)
source
@[protected, instance]
def pi.has_inv {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_inv (f i)] :
has_inv (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[protected, instance]
def pi.has_neg {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_neg (f i)] :
has_neg (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[simp]
theorem pi.neg_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_neg (f i)] :
(-x) i = -x i
source
@[simp]
theorem pi.inv_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_inv (f i)] :
x⁻¹ i = (x i)⁻¹
source
theorem pi.neg_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_neg (f i)] :
-x = λ (i : I), -x i
source
theorem pi.inv_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_inv (f i)] :
x⁻¹ = λ (i : I), (x i)⁻¹
source
theorem pi.const_inv {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_inv β] (a : β) :
(function.const α a)⁻¹ = function.const α a⁻¹
source
theorem pi.const_neg {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_neg β] (a : β) :
-function.const α a = function.const α (-a)
source
theorem pi.inv_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_inv γ] (x : β → γ) (y : α → β) :
x⁻¹ ∘ y = (x ∘ y)⁻¹
source
theorem pi.neg_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_neg γ] (x : β → γ) (y : α → β) :
(-x) ∘ y = -x ∘ y
source
@[protected, instance]
def pi.has_sub {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_sub (f i)] :
has_sub (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[protected, instance]
def pi.has_div {I : Type u} {f : I → Type v₁} [Π (i : I), has_div (f i)] :
has_div (Π (i : I), f i)
Equations
source
@[simp]
theorem pi.div_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_div (f i)] :
(x / y) i = x i / y i
source
@[simp]
theorem pi.sub_apply {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) (i : I) [Π (i : I), has_sub (f i)] :
(x - y) i = x i - y i
source
theorem pi.div_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_div (f i)] :
x / y = λ (i : I), x i / y i
source
theorem pi.sub_def {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : Π (i : I), f i) [Π (i : I), has_sub (f i)] :
x - y = λ (i : I), x i - y i
source
theorem pi.sub_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_sub γ] (x y : β → γ) (z : α → β) :
(x - y) ∘ z = x ∘ z - y ∘ z
source
theorem pi.div_comp {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_div γ] (x y : β → γ) (z : α → β) :
(x / y) ∘ z = x ∘ z / y ∘ z
source
@[simp]
theorem pi.const_sub {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_sub β] (a b : β) :
function.const α a - function.const α b = function.const α (a - b)
source
@[simp]
theorem pi.const_div {α : Type u_1} {β : Type u_2} [has_div β] (a b : β) :
function.const α a / function.const α b = function.const α (a / b)
source
def pi.single {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] (i : I) (x : f i) (i_1 : I) :
f i_1

The function supported at i, with value x there, and 0 elsewhere.

Equations
source
def pi.mul_single {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] (i : I) (x : f i) (i_1 : I) :
f i_1

The function supported at i, with value x there, and 1 elsewhere.

Equations
source
@[simp]
theorem pi.mul_single_eq_same {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] (i : I) (x : f i) :
pi.mul_single i x i = x
source
@[simp]
theorem pi.single_eq_same {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] (i : I) (x : f i) :
pi.single i x i = x
source
@[simp]
theorem pi.single_eq_of_ne {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] {i i' : I} (h : i' ≠ i) (x : f i) :
pi.single i x i' = 0
source
@[simp]
theorem pi.mul_single_eq_of_ne {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] {i i' : I} (h : i' ≠ i) (x : f i) :
pi.mul_single i x i' = 1
source
@[simp]
theorem pi.mul_single_eq_of_ne' {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] {i i' : I} (h : i ≠ i') (x : f i) :
pi.mul_single i x i' = 1

Abbreviation for mul_single_eq_of_ne h.symm, for ease of use by simp.

source
@[simp]
theorem pi.single_eq_of_ne' {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] {i i' : I} (h : i ≠ i') (x : f i) :
pi.single i x i' = 0

Abbreviation for single_eq_of_ne h.symm, for ease of use by simp.

source
@[simp]
theorem pi.single_zero {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] (i : I) :
pi.single i 0 = 0
source
@[simp]
theorem pi.mul_single_one {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] (i : I) :
pi.mul_single i 1 = 1
source
theorem pi.single_apply {I : Type u} [decidable_eq I] {β : Type u_1} [has_zero β] (i : I) (x : β) (i' : I) :
pi.single i x i' = ite (i' = i) x 0

On non-dependent functions, pi.single can be expressed as an ite

source
theorem pi.mul_single_apply {I : Type u} [decidable_eq I] {β : Type u_1} [has_one β] (i : I) (x : β) (i' : I) :
pi.mul_single i x i' = ite (i' = i) x 1

On non-dependent functions, pi.mul_single can be expressed as an ite

source
theorem pi.single_comm {I : Type u} [decidable_eq I] {β : Type u_1} [has_zero β] (i : I) (x : β) (i' : I) :
pi.single i x i' = pi.single i' x i

On non-dependent functions, pi.single is symmetric in the two indices.

source
theorem pi.mul_single_comm {I : Type u} [decidable_eq I] {β : Type u_1} [has_one β] (i : I) (x : β) (i' : I) :
pi.mul_single i x i' = pi.mul_single i' x i

On non-dependent functions, pi.mul_single is symmetric in the two indices.

source
theorem pi.apply_single {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] [Π (i : I), has_zero (g i)] (f' : Π (i : I), f i → g i) (hf' : ∀ (i : I), f' i 0 = 0) (i : I) (x : f i) (j : I) :
f' j (pi.single i x j) = pi.single i (f' i x) j
source
theorem pi.apply_mul_single {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] [Π (i : I), has_one (g i)] (f' : Π (i : I), f i → g i) (hf' : ∀ (i : I), f' i 1 = 1) (i : I) (x : f i) (j : I) :
f' j (pi.mul_single i x j) = pi.mul_single i (f' i x) j
source
theorem pi.apply_single₂ {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} {h : I → Type v₃} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] [Π (i : I), has_zero (g i)] [Π (i : I), has_zero (h i)] (f' : Π (i : I), f i → g i → h i) (hf' : ∀ (i : I), f' i 0 0 = 0) (i : I) (x : f i) (y : g i) (j : I) :
f' j (pi.single i x j) (pi.single i y j) = pi.single i (f' i x y) j
source
theorem pi.apply_mul_single₂ {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} {h : I → Type v₃} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] [Π (i : I), has_one (g i)] [Π (i : I), has_one (h i)] (f' : Π (i : I), f i → g i → h i) (hf' : ∀ (i : I), f' i 1 1 = 1) (i : I) (x : f i) (y : g i) (j : I) :
f' j (pi.mul_single i x j) (pi.mul_single i y j) = pi.mul_single i (f' i x y) j
source
theorem pi.single_op {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] {g : I → Type u_1} [Π (i : I), has_zero (g i)] (op : Π (i : I), f i → g i) (h : ∀ (i : I), op i 0 = 0) (i : I) (x : f i) :
pi.single i (op i x) = λ (j : I), op j (pi.single i x j)
source
theorem pi.mul_single_op {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] {g : I → Type u_1} [Π (i : I), has_one (g i)] (op : Π (i : I), f i → g i) (h : ∀ (i : I), op i 1 = 1) (i : I) (x : f i) :
pi.mul_single i (op i x) = λ (j : I), op j (pi.mul_single i x j)
source
theorem pi.mul_single_op₂ {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] {g₁ : I → Type u_1} {g₂ : I → Type u_2} [Π (i : I), has_one (g₁ i)] [Π (i : I), has_one (g₂ i)] (op : Π (i : I), g₁ i → g₂ i → f i) (h : ∀ (i : I), op i 1 1 = 1) (i : I) (x₁ : g₁ i) (x₂ : g₂ i) :
pi.mul_single i (op i x₁ x₂) = λ (j : I), op j (pi.mul_single i x₁ j) (pi.mul_single i x₂ j)
source
theorem pi.single_op₂ {I : Type u} {f : I → Type v₁} [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] {g₁ : I → Type u_1} {g₂ : I → Type u_2} [Π (i : I), has_zero (g₁ i)] [Π (i : I), has_zero (g₂ i)] (op : Π (i : I), g₁ i → g₂ i → f i) (h : ∀ (i : I), op i 0 0 = 0) (i : I) (x₁ : g₁ i) (x₂ : g₂ i) :
pi.single i (op i x₁ x₂) = λ (j : I), op j (pi.single i x₁ j) (pi.single i x₂ j)
source
theorem pi.mul_single_injective {I : Type u} (f : I → Type v₁) [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] (i : I) :
function.injective (pi.mul_single i)
source
theorem pi.single_injective {I : Type u} (f : I → Type v₁) [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] (i : I) :
function.injective (pi.single i)
source
@[simp]
theorem pi.single_inj {I : Type u} (f : I → Type v₁) [decidable_eq I] [Π (i : I), has_zero (f i)] (i : I) {x y : f i} :
pi.single i x = pi.single i y ↔ x = y
source
@[simp]
theorem pi.mul_single_inj {I : Type u} (f : I → Type v₁) [decidable_eq I] [Π (i : I), has_one (f i)] (i : I) {x y : f i} :
pi.mul_single i x = pi.mul_single i y ↔ x = y
source
@[protected, simp]
def pi.prod {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} (f' : Π (i : I), f i) (g' : Π (i : I), g i) (i : I) :
f i × g i

The mapping into a product type built from maps into each component.

Equations
source
@[simp]
theorem pi.prod_fst_snd {α : Type u_1} {β : Type u_2} :
pi.prod prod.fst prod.snd = id
source
@[simp]
theorem pi.prod_snd_fst {α : Type u_1} {β : Type u_2} :
pi.prod prod.snd prod.fst = prod.swap
source
theorem function.extend_one {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_one γ] (f : α → β) :
function.extend f 1 1 = 1
source
theorem function.extend_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_zero γ] (f : α → β) :
function.extend f 0 0 = 0
source
theorem function.extend_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_add γ] (f : α → β) (g₁ g₂ : α → γ) (e₁ e₂ : β → γ) :
function.extend f (g₁ + g₂) (e₁ + e₂) = function.extend f g₁ e₁ + function.extend f g₂ e₂
source
theorem function.extend_mul {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_mul γ] (f : α → β) (g₁ g₂ : α → γ) (e₁ e₂ : β → γ) :
function.extend f (g₁ * g₂) (e₁ * e₂) = (function.extend f g₁ e₁) * function.extend f g₂ e₂
source
theorem function.extend_neg {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_neg γ] (f : α → β) (g : α → γ) (e : β → γ) :
function.extend f (-g) (-e) = -function.extend f g e
source
theorem function.extend_inv {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_inv γ] (f : α → β) (g : α → γ) (e : β → γ) :
function.extend f g⁻¹ e⁻¹ = (function.extend f g e)⁻¹
source
theorem function.extend_div {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_div γ] (f : α → β) (g₁ g₂ : α → γ) (e₁ e₂ : β → γ) :
function.extend f (g₁ / g₂) (e₁ / e₂) = function.extend f g₁ e₁ / function.extend f g₂ e₂
source
theorem function.extend_sub {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} [has_sub γ] (f : α → β) (g₁ g₂ : α → γ) (e₁ e₂ : β → γ) :
function.extend f (g₁ - g₂) (e₁ - e₂) = function.extend f g₁ e₁ - function.extend f g₂ e₂
source
theorem function.surjective_pi_map {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} {F : Π (i : I), f i → g i} (hF : ∀ (i : I), function.surjective (F i)) :
function.surjective (λ (x : Π (i : I), f i) (i : I), F i (x i))
source
theorem function.injective_pi_map {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} {F : Π (i : I), f i → g i} (hF : ∀ (i : I), function.injective (F i)) :
function.injective (λ (x : Π (i : I), f i) (i : I), F i (x i))
source
theorem function.bijective_pi_map {I : Type u} {f : I → Type v₁} {g : I → Type v₂} {F : Π (i : I), f i → g i} (hF : ∀ (i : I), function.bijective (F i)) :
function.bijective (λ (x : Π (i : I), f i) (i : I), F i (x i))
source
def unique_of_surjective_one (α : Type u_1) {β : Type u_2} [has_one β] (h : function.surjective 1) :
unique β

If the one function is surjective, the codomain is trivial.

Equations
source
def unique_of_surjective_zero (α : Type u_1) {β : Type u_2} [has_zero β] (h : function.surjective 0) :
unique β

If the zero function is surjective, the codomain is trivial.

Equations
source
theorem subsingleton.pi_mul_single_eq {I : Type u} {α : Type u_1} [decidable_eq I] [subsingleton I] [has_one α] (i : I) (x : α) :
pi.mul_single i x = λ (_x : I), x
source
theorem subsingleton.pi_single_eq {I : Type u} {α : Type u_1} [decidable_eq I] [subsingleton I] [has_zero α] (i : I) (x : α) :
pi.single i x = λ (_x : I), x